Contenido.
- Desplazamiento, tiempo y velocidad media.
- Velocidad instantánea.
- Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)
- Aceleración media e instantánea.
- Movimiento rectilíneo con aceleración constante (M.R.A.)
- Cuerpos en caída libre y lanzamiento vertical hacia arriba.
- Ejercicios / Problemas.
Metas de Aprendizaje
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Al estudiar esta unidad usted aprenderá:
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Vamos a describir brevemente la diferencia entre posición y desplazamiento que tiene un objeto (móvil).
1. Desplazamiento, tiempo y velocidad
media
Suponga que un piloto conduce su vehículo por una pista recta (figura 25). Para estudiar su movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas. Elegimos que el eje x vaya a lo largo de la trayectoria recta del vehículo, con el origen O en la línea de salida. También elegimos un punto en el vehículo, digamos su extremo delantero, y representamos todo el vehículo con ese punto y lo tratamos como una partícula.
Para describir el movimiento o
desplazamiento de la partícula, es decir, el punto que representa el automóvil,
es en términos del cambio en su coordenada x durante un intervalo de tiempo.
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| Figura 25: Posiciones de un vehículo en dos instantes de su recorrido. |
Suponga que 1,0 s después del arranque el frente del vehículo está en el punto P1, a 19 m del origen, y que 4,0 s después del arranque está en el punto P2, a 277 m del origen.
El desplazamiento de la partícula es un
vector que apunta de P1 a P2. La figura muestra que este
vector apunta a lo largo del eje x. La componente x del desplazamiento es
simplemente el cambio en el valor de x, (277 m - 19 m) = 258 m, que hubo en un
lapso de (4,0 s – 1,0 s) = 3,0 s.
Definimos
la velocidad media del auto durante este intervalo de tiempo como una cantidad
vectorial, cuya componente x es el cambio en x dividido entre el intervalo de
tiempo: (258 m) / (3,0 s) = 86 m/s.
1.1 Desplazamiento.
El
desplazamiento del vehículo en el intervalo de t1 a t2 es
el vector de P1 a P2. La componente x del desplazamiento,
denotada por Δx, es el cambio en la coordenada x.
Δx
= x2 – x1
1.2 Velocidad media o promedio.
La
componente x de la velocidad promedio, o velocidad media, es la componente x
del desplazamiento, Δx, dividida entre el intervalo de tiempo Δt en el que
ocurre el desplazamiento. Usamos el símbolo V med-x para representar
velocidad media y el subíndice x indica que ésta es la componente x.
En
el ejemplo del vehículo, teníamos x1 =19 m, x2 =277 m, t1
=1.0 s y t2 =4.0 s, así que la ecuación queda:
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| Figura 26: Posición de un vehículo en función del tiempo. |
La velocidad media
depende sólo del desplazamiento total Δx = x2 - x1
que se da durante el intervalo Δt = t2 - t1,
no en los pormenores de lo que sucede dentro de ese intervalo.
2. Velocidad instantánea.
Hay ocasiones en que la velocidad media es lo único que necesitamos saber acerca del movimiento de una partícula.
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| Figura 27: Competencia 100 m planos. |
Por ejemplo, una carrera
en pista recta es en realidad una competencia para determinar quién tuvo la
mayor velocidad media, V med-x. Se entrega el premio al competidor
que haya recorrido el desplazamiento Δx
de la línea de salida a la de meta en el intervalo de tiempo más corto.
Sin embargo, la velocidad
media de una partícula durante un intervalo de tiempo no nos indica con qué
rapidez, o en qué dirección, la partícula se estaba moviendo en un instante
dado del intervalo. Para describir el movimiento con mayor detalle, necesitamos
definir la velocidad en cualquier instante específico o punto específico del
camino. Ésta es la velocidad instantánea, y debe definirse con cuidado.
Para obtener la velocidad
instantánea del vehículo de la figura 25 en el punto P1, movemos el
segundo punto P2 cada vez más cerca del primer punto P1 y
calculamos la velocidad media V med-x = Δx/Δt para estos
desplazamientos y lapsos cada vez más cortos.
Tanto Δx y Δt se hacen muy pequeños;
pero su cociente no necesariamente lo hace. En el lenguaje del cálculo, el
límite de Δx/Δt cuando Δt se acerca a cero es la
derivada de x con respecto a t y se escribe dx/dt.
Velocidad instantánea, es el límite de la velocidad media conforme
el intervalo de tiempo se acerca a cero; es igual a la tasa instantánea de
cambio de posición con el tiempo. Usamos el símbolo Vx, sin “med” en el
subíndice, para la velocidad instantánea en el eje x:
La velocidad instantánea,
igual que la velocidad media, es una cantidad vectorial. La ecuación, define su
componente x.
Los términos “velocidad”
y “rapidez” se usan indistintamente en el lenguaje cotidiano; no obstante, en
física tienen diferente significado.
- Rapidez, denota distancia recorrida dividida entre tiempo, con un régimen medio o instantáneo. Usaremos el símbolo V (sin subíndice) para denotar la rapidez instantánea, que mide qué tan rápido se mueve una partícula.
- Velocidad instantánea mide con qué rapidez y en qué dirección se mueve.
Por ejemplo, una partícula con velocidad instantánea Vx = 25 m/s y otra con Vx = -25 m/s se mueven en direcciones opuestas con la misma rapidez instantánea de 25 m/s.
La rapidez instantánea es
la magnitud de la velocidad instantánea, así que no puede ser negativa.
Ejemplo:
1. Un guepardo acecha 20 m al este del
escondite de un observador (figura 28). En el tiempo t = 0, el guepardo ataca a
un antílope y empieza a correr en línea recta. Durante los primeros 2,0 s del
ataque, la coordenada x del guepardo varía con el tiempo según la ecuación:
x = 20 m + (5.0 m/s2) t2
a) Obtenga el desplazamiento del
guepardo entre t1 = 1,0 s y t2 = 2,0 s.
b) Calcule la velocidad media en
dicho intervalo.
c) Calcule la velocidad instantánea
en t1 = 1,0 s tomando: Δt = 0,1 s, luego Δt = 0,01 s, luego Δt = 0,001 s.
d) Deduzca una expresión general para
la velocidad instantánea en función del tiempo, y con ella calcule Vx en t =
1,0 s y t = 2,0 s.
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| Figura 28: Un guepardo agazapado en un arbusto ataca a un antílope. Los animales no están a la misma escala que el eje. |
Solución:
a) Desplazamiento del guepardo:
En t1 = 1,0 s,
la posición x1 del guepardo es:
x1 = 20 m + (5.0 m/s2) (1,0 s)2
= 25 m
En t2 = 2,0 s,
su posición x2 es:
X2 = 20 m + (5.0 m/s2) (2,0 s)2
= 40 m
El desplazamiento en este
intervalo es
Δx = X2 - X1
= 40 m – 25 m = 15 m
b) La velocidad media durante este
intervalo es:
c) Con Δt = 0,1 s, el intervalo es de:
t1
= 1,0 s y t2 = 1,1 s.
En
t2, la posición es:
X2
= 20 m + (5.0 m/s2) (1,1 s)2 = 26,05 m
La
velocidad media durante estos intervalos es:
Se sigue este método para calcular las velocidades medias de los intervalos de 0,01 s y 0,001 s. los resultados son: 10,05 m/s y 10,005 m/s respectivamente.
Por lo que, concluimos
que la velocidad instantánea en t = 1,0 s es de 10,0 m/s.
d) Al calcular la velocidad instantánea en función
del tiempo, derive la expresión de x con respecto a t. La derivada de una
constante es cero, y para cualquier n la derivada de tn es (nt)n-1,
así que la derivada de la ecuación es:
x = 20 m + (5.0 m/s2) t2
x ҆
= (5.0 m/s2) (2t)
x ҆
= Vx = dx / dt
La velocidad instantánea en un tiempo
t = 1,0 s es:
Vx = (5.0 m/s2) (2*1)
Vx = 10 m/s
La velocidad instantánea en un tiempo
t = 2,0 s es:
Vx = (5.0 m/s2) (2*2)
Vx = 20 m/s
3. Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)
En
el movimiento rectilíneo, las demás componentes de la velocidad instantánea son
cero y, en este caso, llamaremos a Vx simplemente velocidad instantánea.
Un movimiento es rectilíneo, cuando una partícula
describe una trayectoria recta respecto a un observador y es uniforme cuando su
velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula.
El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) se
caracteriza por:
a) Movimiento
que se realiza sobre una línea recta.
b) La
distancia total recorrida es igual al desplazamiento.
c) Velocidad
constante; implica magnitud y dirección constante.
d) La
magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez.
e) Sin
aceleración (a = 0 m/s2).
f) Para
este movimiento la distancia recorrida se calcula multiplicando la
magnitud de la velocidad por el tiempo transcurrido.
3.1
Ecuaciones del movimiento.
La posición de x (t) medido sobre el eje
x, por ejemplo, en cualquier instante t viene dada por:
En el movimiento rectilíneo, las demás componentes de la velocidad instantánea son cero y, en este caso, llamaremos a Vx simplemente velocidad instantánea.
Un movimiento es rectilíneo, cuando una partícula
describe una trayectoria recta respecto a un observador y es uniforme cuando su
velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula.
El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) se
caracteriza por:
a) Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
b) La
distancia total recorrida es igual al desplazamiento.
c) Velocidad constante; implica magnitud y dirección constante.
d) La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez.
e) Sin aceleración (a = 0 m/s2).
f) Para este movimiento la distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad por el tiempo transcurrido.
a) Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
c) Velocidad constante; implica magnitud y dirección constante.
d) La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez.
e) Sin aceleración (a = 0 m/s2).
f) Para este movimiento la distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad por el tiempo transcurrido.
3.1
Ecuaciones del movimiento.
La posición de x (t) medido sobre el eje
x, por ejemplo, en cualquier instante t viene dada por:
La posición para cualquier tiempo está dada por:
3.2 Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme (MRU).
Al
expresar las magnitudes en los ejes del plano cartesiano se pueden obtener tres
tipos de gráficas que aporten información para la magnitud resultante.
a) Gráfica posición vs tiempo
 |
| Figura 29: Gráfica posición vs tiempo (MRU). |
En esta gráfica la posición varia directamente con el tiempo y da lugar a una línea recta cuya pendiente representa la velocidad de la partícula.
m = V = Δx / Δt
b) Gráfica velocidad vs tiempo.
 |
| Figura 30: Gráfica Velocidad vs tiempo (MRU). |
En
esta gráfica, se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (tiempo). Además,
el área bajo la recta producida representa la distancia total recorrida o
desplazamiento.
c) Gráfica aceleración vs tiempo
 |
| Figura 31: Gráfica aceleración vs tiempo (MRU). |
Sabemos que la velocidad V es constante; esto significa que la aceleración de la partícula es cero (a = 0 m/s2).
Video: Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Ejemplos:
1.- Un barco
recorre la distancia que separa Gran Canaria de Tenerife (90 km) en 6 horas.
¿Cuál es la velocidad del barco en km/h? ¿Y en m/s?
Como la fórmula de la velocidad en el MRU
es v = d/t, la velocidad del barco será:
v = d/t = 90 km / 6 h = 15 Km/h
Para pasar a metros por segundo,
multiplicamos por 1000 (porque un kilómetro son 1000 metros) y dividimos entre
3600 (porque una hora son 3600 segundos):
V = 15 km/h * 1000 m/km * 1 h/3600 s =
4,17m/s
2.- ¿Cuánto tiempo
tarda un atleta en completar la distancia de una maratón (42 km) si corre a una
velocidad media de 15 km/h?
Igual que el anterior, solo que en esta
ocasión la incógnita es el tiempo en lugar de la
velocidad: v = d/t
t = 42 km / 15 km/h = 2,8 h
3.- Un avión vuela
a una velocidad de 900 km/h. Si tarda en viajar desde Canarias hasta la
península 2 horas y media, ¿qué distancia recorre en ese tiempo?
Igual que los anteriores, pero ahora la
incógnita es la distancia. Recuerda que “dos horas y media” tenemos que
indicarlo con una única cifra decimal que sería 2,5 horas:
v = d/t
900 = d/2,5
d = 900 km/h · 2,5 h = 2250 Km
4.- Un coche se
mueve durante 30 minutos a 40 km/h; después se mueve a 60 km/h durante la
siguiente hora. Finalmente, durante 15 minutos circula a 20 km/h. ¿Qué
distancia total habrá recorrido? Calcula la distancia en cada tramo.
Vamos a calcular primero la distancia que
recorre en cada tramo (no siempre es lo mejor responder las preguntas de un
enunciado en el orden en que nos las hacen):
Tramo 1:
tiempo = 30 minutos = 0,5 horas
velocidad = 40 Km/h
distancia = v·t = 20 kilómetros
Tramo 2:
tiempo = 1 hora
velocidad = 60Km/h
distancia = v·t = 60 kilómetros
Tramo 3:
tiempo = 15 minutos = 0,25 horas
velocidad = 20Km/h
distancia = v·t = 5 kilómetros
Distancia total =
20 + 60 + 6 = 85 Km
4. Aceleración media e instantánea.
Así como la velocidad describe la tasa de cambio de posición con el tiempo, la aceleración describe la tasa de cambio de velocidad con el tiempo.
Al igual que la velocidad, la aceleración
es una cantidad vectorial. En el movimiento rectilíneo, su única componente
distinta de cero está sobre el eje en que ocurre el movimiento. Como veremos,
en el movimiento rectilíneo la aceleración puede referirse tanto a aumentar la
rapidez como a disminuirla.
4.1 Aceleración
media
Consideremos otra vez el movimiento de una
partícula en el eje x.
Suponga que, en el tiempo tl,
la partícula está en el punto Pl y tiene una componente x de
velocidad (instantánea) V1x, y en un instante posterior t2
está en P2 y tiene una componente x de velocidad V2x.
Así, la componente x de la velocidad cambia en:
ΔVx = V2x
– V1x en el intervalo Δt = t2
– t1.
Definimos la aceleración media de la
partícula al moverse de Pl a P2 como una cantidad
vectorial cuya componente x es amed-x igual a ΔVx,
el cambio en la componente x de la velocidad, dividido entre el intervalo de
tiempo Δt:
Si expresamos la velocidad en metros por
segundo y el tiempo en segundos, la aceleración media está en metros por
segundo por segundo, o bien (m/s) /s. Esto suele escribirse como m/s2
y se lee “metros por segundo al cuadrado”.
Ejemplo:
1. Un astronauta sale de una nave espacial en órbita para
probar una unidad personal de maniobras. Mientras se mueve en línea recta, su
compañero a bordo mide su velocidad cada 2,0 segundos a partir del instante t =
1,0 s:
 |
| Figura 32: Astronauta descendiendo. |
t
|
Vx
|
t
|
Vx
|
1,0 s
|
0,8 m/s
|
9,0 s
|
-0,4 m/s
|
3,0 s
|
1,2 m/s
|
11,0 s
|
-1,0 m/s
|
5,0 s
|
1,6 m/s
|
13,0 s
|
-1,6 m/s
|
7,0 s
|
1,2 m/s
|
15,0 s
|
-0,8 m/s
|
Calcule la
aceleración media y diga si la rapidez del astronauta aumenta o disminuye para
cada uno de estos intervalos:
a) t1=1,0
s a t2 = 3,0 s; b) t1 = 5,0 s a t2 = 7,0 s;
c) t1 =
9,0 s a t2 = l l,0 s; d) t1 = 13,0 s a t2 = 15,0
s.
Solución:
La rapidez (magnitud de la velocidad instantánea).
4.2 Aceleración instantánea
Podemos definir la aceleración instantánea,
con el mismo procedimiento que seguimos para la velocidad instantánea.
Ejemplo, suponga que un piloto de carreras
acaba de entrar en una recta como se muestra en la figura 33.
Para definir la aceleración instantánea en
P1, tomamos el segundo punto P2 en la figura 33 cada vez más cerca de P1, de
modo que la aceleración media se calcule en intervalos cada vez más cortos.
La aceleración
instantánea, es el límite de la aceleración media conforme el intervalo de
tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la aceleración instantánea
es la tasa instantánea de cambio de la velocidad con el tiempo. Así,
 |
| Figura 33: Vehículo de Grand Prix en dos puntos de la recta. |
Observe que la ecuación, es realmente la definición de la componente x del vector de aceleración o la aceleración instantánea; en el movimiento rectilíneo, las demás componentes de este vector son cero.
A partir de aquí, al hablar de “aceleración” nos referiremos siempre a la aceleración instantánea, no a la aceleración media.
Ejemplo:
1. Suponga que la velocidad Vx del auto en la figura 33
en el tiempo t está dada por:
Vx = 60 m/s + (0,50 m/s3) t2
a) Calcule el cambio de velocidad del auto en el intervalo entre: t1 = 1,0 s y t2 = 3,0 s.
b) Calcule la aceleración media en este intervalo.
c) Obtenga la aceleración instantánea en t1
= 1,0 s tomando Δt primero como 0,1
s, después como 0,01 s y luego como 0,001 s.
d) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea en cualquier instante y úsela para obtener la aceleración en t = 1,0 s y t = 3,0 s.
d) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea en cualquier instante y úsela para obtener la aceleración en t = 1,0 s y t = 3,0 s.
Solución:
a) Cambio de velocidad del auto.
Vx = 60 m/s + (0,50 m/s3) t2
Vx = 60 m/s +
(0,50 m/s3) t2
Vx = 60 m/s + (0,50 m/s3) (1,0s)2
Vx = 60 m/s + (0,50 m/s3) (3,0 s)2
Vx = 60,5 m/s Vx
= 64,5 m/s
ΔVx = 64,5 m/s – 60,5 m/s = 4,0 m/s
b) Aceleración media.
a med-x = ΔVx
/ Δt = 4,0 m/s / 2,0 s = 2,0 m/s2
c) Cuando Δt = 0,1 s,
t2 = 1,1 s y obtenemos:
Vx = 60 m/s + (0,50 m/s3) (1,1s)2
= 60,605 m/s
ΔVx = 0,105 m/s
a med-x = ΔVx / Δt = 0,105 m/s / 0,1 s = 1,05 m/s2
Repetimos el método
con Δt = 0,01 s y Δt = 0,001 s y los resultados son:
a med-x = 1,005 m/s2 y a med-x
= 1,0005 m/s2 respectivamente.
Al reducir Δt, la aceleración
media se acerca a 1,00 m/s2 por lo que concluimos que la aceleración
instantánea en t = 1,0 s es 1,00 m/s2
d) Aceleración instantánea
ax = dVx / dt. La derivada de una constante
es cero y la derivada de t2 es 2t, con esto obtenemos que:
Vx
= 60 m/s + (0,50 m/s3) t2
Vx
҆ = (0,50 m/s3)
(2t)
ax
= 1 m/s3 (t)
Cuando t = 1,0 s
ax = 1 m/s3 (1,0s) = 1 m/s2
Cuando t = 3,0 s
ax = 1 m/s3 (3,0s) = 3,0 m/s2
Video: Desplazamiento,
Velocidad media e instantánea, Aceleración media
e instantánea.
5. Movimiento Rectilíneo
con Aceleración constante (MRA).
El movimiento acelerado más sencillo es el
rectilíneo con aceleración constante.
En este caso, la velocidad cambia al mismo
ritmo todo el tiempo. Se trata de una situación muy especial, aun cuando ocurre
a menudo en la naturaleza; un cuerpo que cae tiene aceleración constante si los
efectos del aire no son importantes.
Lo mismo sucede con un cuerpo que se
desliza por una pendiente o sobre una superficie horizontal áspera. El
movimiento rectilíneo con aceleración casi constante se da también en la
tecnología, como cuando un jet de combate es lanzado con catapulta desde la
cubierta de un portaviones.
Este movimiento se caracteriza por:
- La trayectoria es rectilínea.
- La aceleración sobre la partícula es constante.
- La velocidad varia linealmente con respecto al tiempo.
- La posición varía según una relación cuadrática con respecto al tiempo.
Cuando la aceleración ax es
constante, la aceleración media amed-x para cualquier intervalo es ax.
Esto vuelve sencillo derivar las ecuaciones para la posición x y la velocidad Vx
como funciones del tiempo.
Para encontrar una expresión para Vx
primero sustituimos amed-x por ax en la ecuación de
aceleración media.
Sean ahora tl = 0 y t2
cualquier instante posterior t. Simbolizamos con Vox la componente x de la
velocidad en el instante inicial t = 0; la componente x de la velocidad en el
instante posterior t es Vx. Entonces, la ecuación se convierte en:
Vx = Vox ± ax t
También podemos obtener otras expresiones
a partir de deducciones con aceleración constante.
En este caso omitiremos esos supuestos y
mostraremos las ecuaciones finales.
5.1 Ecuaciones del
movimiento.
Estas son las ecuaciones del movimiento y
con ellas, podemos resolver cualquier problema que implique movimiento
rectilíneo de una partícula con aceleración constante.
5.2 Gráficas del
movimiento rectilíneo con aceleración constante.
Al expresar las magnitudes en los ejes del
plano cartesiano se pueden obtener tres tipos de gráficas que aporten información
para la magnitud resultante.
a) Gráfica Posición vs Tiempo.
 |
| Figura 34: Gráfica Posición vs Tiempo (MRA). |
En esta gráfica la posición tiene una relación
cuadrática con respecto al tiempo.
La pendiente de la recta tangente a la
curva denota la velocidad de la partícula.
b) Gráfica Velocidad vs Tiempo.
 |
| Figura 35: Gráfica Velocidad vs Tiempo (MRA). |
En esta gráfica la velocidad, varia
linealmente con respecto al tiempo y la pendiente de la recta representa la aceleración
de la partícula.
c) Gráfica Aceleración vs Tiempo.
 |
| Figura 36: Gráfica Aceleración vs Tiempo (MRA). Video: Movimiento Rectilíneo Acelerado. |
En
esta gráfica se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (x). Además, el área
bajo la recta representa la velocidad de la partícula.
Video: MRU - MRA
Enlace: Simulador PhET - MRA
Ejemplos:
1. Graficar la ecuación: x = 5 – 4 t + t2
Solución:
x – 1 = (t – 2)2
Esta ecuación corresponde a la parábola
con parámetros h = 2, k = 1, c = 1 la cual se representa en la figura.
2. La figura muestra la relación
Velocidad versus Tiempo para una partícula.
Solución:
a) El desplazamiento se obtiene
calculando el área entre la gráfica de v(t) y el eje t. El área hasta 12 s se
puede calcular por partes,
Tiempo de 0 s a 4 s:
Tiempo de 4 s a 8 s:
De 8s a 10s: Para calcular esta área
debemos considerar los triángulos semejantes I y II Considerando que
la base del triángulo I es t´ se tiene que 2/30 = t ҆ /20 de
donde t´ vale 4/3 s.
Así el triángulo I tiene:
Área I = (20 m/s) (4/3
s) / 2 = 40/3 m
Área II = (2 s - 4/3 s) (-10 m/s) / 2 = -10/3 m
De 10 s hasta el segundo 12:
Área = (-10 m/s) (2 s)
= -20 m
El total el desplazamiento es: 40 m
+ 80 m + (40/3) m - (10/3) m - 20 m = 110 m
Este resultado se interpreta como que el
desplazamiento hasta los 12 s es 110 m en el sentido del eje positivo
de las X. Usualmente a la derecha del origen.
b) Para calcular la longitud del camino
recorrido tomamos el módulo de los desplazamientos negativos:
L = 40
m + 80 m + (40/3) m + (10/3) m + 20 m = 156 m
c) Esquema de la trayectoria.
3. La figura es una parábola en el plano
t-X:
Solución:
Una parábola en el plano t-x corresponde a un MRA sobre el eje X. Recuerde
la ecuación para x(t) en este movimiento. Haremos uso de la ecuación de la
parábola.
x - k = c (t - h)2
x – 6 = c (t – 1)2
Para determinar el valor de C consideramos el punto (0,4) que pertenece a
la curva.
4 – 6
= c (0 – 1)2 de donde se obtiene
c = -2.
Así la ecuación es:
x – 6 = -2 (t –1)2
x = -2 t2 + 4 t + 4.
Comparándolo con la ecuación:
x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2
x0 = 4 m
v0 = 4 m/s (1/2) a = -2,
esto es a = - 4 m/s2
a) Con estos valores ya podemos determinar
los resultados:
V = v0 + (a t) V = 4 (m/s) + (- 4 m/s2) t
Si t = 0,
v = 4( m/s )
Si t = 2 s, v = 4(
m/s) + (- 4 m/s2) (2 s) = - 4 m/s, el movimiento es en el
sentido negativo del eje X.
b) La posición para t = 2 s, se determina
mediante:
x = x0 +
v0 t + (1/2) a t2
Este resultado indica que a los 2s la partícula se encuentra en el mismo punto
de partida, pero esta vez se está dirigiendo al origen.
c) Para hallar la velocidad media es necesario calcular x para t = 4 s.
x = 4 m + (4 m/s) (4 s) + (1/2) (- 4 m/s2) (4 s)2 =
- 12 m
Vm = (-12 m - 4 m) / 4 s = -4 m/s
Ejemplos:
1. Graficar la ecuación: x = 5 – 4 t + t2
Solución:
x – 1 = (t – 2)2
Completando cuadrados, resulta:
Esta ecuación corresponde a la parábola
con parámetros h = 2, k = 1, c = 1 la cual se representa en la figura.
La figura ilustra el movimiento de la
partícula sobre el eje x(m), en t = 0 s, su posición inicial es x = 5 m, en t =
2s la posición es x = 1 m y posteriormente se aleja del origen en el sentido
positivo del eje x (m).
2. La figura muestra la relación
Velocidad versus Tiempo para una partícula.
Calcule:
(a) Desplazamiento de la partícula hasta los 12s.
(b) Longitud del camino recorrido por la partícula en dicho intervalo.
(c) ¿Cómo representaría el movimiento de la partícula sobre el eje
X.? Haga un esquema de la trayectoria e indique las posiciones para t = 4
s, 8 s, para el instante en que V = 0, para los 12.
Solución:
a) El desplazamiento se obtiene
calculando el área entre la gráfica de v(t) y el eje t. El área hasta 12 s se
puede calcular por partes,
Tiempo de 0 s a 4 s: Tiempo de 4 s a 8 s:
Área = (4 s) (20
m/s) / 2 = 40
m
Área = (4 s) (20 m/s) = 80 m
De 8s a 10s: Para calcular esta área
debemos considerar los triángulos semejantes I y II Considerando que
la base del triángulo I es t´ se tiene que 2/30 = t ҆ /20 de
donde t´ vale 4/3 s.
Así el triángulo I tiene:
Área I = (20 m/s) (4/3
s) / 2 = 40/3 m
Área II = (2 s - 4/3 s) (-10 m/s) / 2 = -10/3 m
De 10 s hasta el segundo 12:
Área = (-10 m/s) (2 s)
= -20 m
El total el desplazamiento es: 40 m
+ 80 m + (40/3) m - (10/3) m - 20 m = 110 m
Este resultado se interpreta como que el
desplazamiento hasta los 12 s es 110 m en el sentido del eje positivo
de las X. Usualmente a la derecha del origen.
b) Para calcular la longitud del camino
recorrido tomamos el módulo de los desplazamientos negativos:
L = 40
m + 80 m + (40/3) m + (10/3) m + 20 m = 156 m
c) Esquema de la trayectoria.
3. La figura es una parábola en el plano
t-X:
Calcule:
(a) La velocidad en los instantes 0 s y 2s
(b) La posición en t = 2 s
(c) La velocidad media entre t = 0 y t = 4 s.
Solución:
Una parábola en el plano t-x corresponde a un MRA sobre el eje X. Recuerde la ecuación para x(t) en este movimiento. Haremos uso de la ecuación de la parábola.
A partir de la figura se deduce que (h,k)
= (1,6), entonces en la ecuación de la parábola en este plano será:
x - k = c (t - h)2
x – 6 = c (t – 1)2
Para determinar el valor de C consideramos el punto (0,4) que pertenece a la curva.
4 – 6
= c (0 – 1)2 de donde se obtiene
c = -2.
Así la ecuación es:
x – 6 = -2 (t –1)2
x = -2 t2 + 4 t + 4.
Comparándolo con la ecuación:
x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2
Deducimos que:
x0 = 4 m
v0 = 4 m/s (1/2) a = -2, esto es a = - 4 m/s2
a) Con estos valores ya podemos determinar
los resultados:
V = v0 + (a t) V = 4 (m/s) + (- 4 m/s2) t
Si t = 0,
v = 4( m/s )
Si t = 2 s, v = 4(
m/s) + (- 4 m/s2) (2 s) = - 4 m/s, el movimiento es en el
sentido negativo del eje X.
b) La posición para t = 2 s, se determina
mediante:
x = x0 + v0 t + (1/2) a t2
x = 4 m +
4(m/s) (2 s) + (1/2) (- 4 m/s2) (2 s)2 = 4m
Este resultado indica que a los 2s la partícula se encuentra en el mismo punto de partida, pero esta vez se está dirigiendo al origen.
c) Para hallar la velocidad media es necesario calcular x para t = 4 s.
x = 4 m + (4 m/s) (4 s) + (1/2) (- 4 m/s2) (4 s)2 = - 12 m
Vm = (-12 m - 4 m) / 4 s = -4 m/s
 |
| Figura 37: Fotografía con múltiples destellos de una pelota en caída libre. |
Diecinueve siglos después, Galileo afirmó
que los cuerpos caían con una aceleración constante e independiente de su peso.
Los experimentos muestran que, si puede omitirse el efecto del aire, Galileo
está en lo cierto: todos los cuerpos en un lugar específico caen con la misma
aceleración hacia abajo, sea cual fuere su tamaño o peso.
Si además la distancia de caída es pequeña en comparación con el radio terrestre, y si ignoramos los pequeños efectos debidos a la rotación de la Tierra, la aceleración es constante. El modelo idealizado que surge de tales supuestos se denomina caída libre, aunque también incluye el movimiento ascendente.
La figura es una fotografía de una pelota
que cae tomada con una lámpara estroboscópica que produce una serie de
destellos intensos a intervalos iguales. En cada destello, la película registra
la posición de la pelota.
Como los intervalos entre destellos son
iguales, la velocidad media de la pelota entre dos destellos es proporcional a
la distancia entre las imágenes correspondientes en la fotografía.
El aumento en las distancias muestra que
la velocidad cambia continuamente: la pelota acelera hacia abajo. Al medir
cuidadosamente constatamos que el cambio de velocidad es el mismo en cada
intervalo, así que la aceleración de la pelota en caída libre es constante. La
aceleración constante de un cuerpo en caída libre se llama aceleración debida a
la gravedad, y denotamos su magnitud con la letra g. Por lo regular, usaremos
el valor aproximado de g cerca de la superficie terrestre:
g = 9,8 m/s2
g = 32 Ft/s2
El valor exacto varía según el lugar, así
que normalmente sólo lo daremos con dos cifras significativas. Dado que g es la
magnitud de una cantidad vectorial, siempre es positiva.
En la superficie de la Luna, la
aceleración debida a la gravedad se debe a la fuerza de atracción de la Luna,
no de la Tierra, y g = 1.6 m/s2. Cerca de la superficie del Sol, g =
270 m/s2.
6.1 Ecuaciones del
movimiento.
Las ecuaciones de
caída libre y lanzamiento vertical hacia arriba son similares a las
descritas anteriormente en el movimiento rectilíneo con
aceleración constante. El eje de movimiento ahora actúa sobre la
ordenada del plano cartesiano (eje y) y las variables de desplazamiento y
aceleración se reemplazan por h (altura) y g (aceleración de
gravedad) respectivamente.
Ejemplo:
1. Se deja caer una moneda de un euro desde la Torre
Inclinada de Pisa; parte del reposo y cae libremente.
Calcule: su posición y velocidad después de 1,0 s, 2,0
s y 3,0 s.
Cae libremente significa, que tiene una aceleración constante debida a la gravedad, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración constante en la determinación de nuestras incógnitas.
Posición. Velocidad.
y
= yo + Vox t + ½ ay t2 Vy = Voy
+ ay t
y
= 0 + 0 + ½ (-g) t2 Vy
= 0 + (-g) t
y
= (-4,9 m/s2) t2 Vy
= (-9,8 m/s2) t
 |
| Figura: Torre inclinada de Pisa. |
Cuando:
t = 1,0 s
y = (-4,9 m/s2) (1,0 s)2 = -4,9 m
Vy
= (-9,8 m/s2) (1,0 s) = -9,8 m/s
t = 2,0 s
y
= (-4,9 m/s2) (2,0 s)2 = -19,6 m
Vy =
(-9,8 m/s2) (2,0 s) = -19,6 m/s
t = 3,0 s
y
= (-4,9 m/s2) (3,0 s)2 = -44,1 m
Vy =
(-9,8 m/s2) (3,0 s) = -29,4 m/s
Video: Caida libre
2. Imagine que usted lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio. La pelota sale de la mano, en un punto a la altura del barandal de la azotea, con rapidez ascendente de 15,0 m/s, quedando luego en caída libre. Al bajar, la pelota libra apenas el barandal. En este lugar, la g = 9.8 m/s2. Obtenga:
a) La posición y velocidad de la pelota 1,00 s y 4,00
s después de soltarla.
b) La velocidad cuando la pelota está 5.00 m sobre el
barandal.
c) La altura máxima alcanzada y el instante en que se
alcanza.
d) La aceleración de la pelota en su altura máxima.
a) Posición y Velocidad.
y
= yo + Vox t + ½ ay t2 Vy = Voy + ay
t
y
= 0 + (15,0 m/s) t + ½ (-9,8 m/s2) t2 Vy = 15,0 m/s + (-9,8
m/s2) t
cuando:
t = 1,00 s
y
= 0 + (15,0 m/s) (1,00 s) + ½ (-9,8 m/s2) (1,00 s)2 Vy = 15,0 m/s + (-9,8 m/s2)
(1,00 s)
y
= 10,1 m Vy = 5,2 m/s
t = 4,00 s
y
= 0 + (15,0 m/s) (4,00 s) + ½ (-9,8 m/s2) (4,00 s)2 Vy = 15,0 m/s + (-9,8 m/s2)
(4,00 s)
y
= -18,4 m Vy = -24,2 m/s
b) Velocidad en
cualquier posición.
Vy
2 = Voy 2 + 2 ay (y – yo)
Vy
2 = (15 m/s) 2 + 2 (-9.8 m/s2)
(5,00 m – 0 m)
Vy = ± 11,3 m/s
Obtenemos dos valores de Vy, pues la
pelota pasa dos veces por el punto y = ±5,00 m, una subiendo con Vy positiva y
otra bajando con Vy negativa.
c) En el instante en que la pelota llega al punto más
alto, está momentáneamente en reposo y Vy = 0. La altura máxima y1
puede obtenerse usando la ecuación y sustituir Vy = 0, yo
= 0 y ay = - g
Vy 2 = Voy 2 + 2 ay (y – yo) Vy = Voy + 2 ay t
0
= Voy 2 + 2 (-g) (y – 0) 0 = 15,0 m/s + 2 (-9,8 m/s2) t
y = Voy 2 / 2g t = Voy / g
y = (15,0 m/s)2 / 2 (9,8 m/s2) t = 15,0
m/s / (9,8 m/s2)
y = 11,5 m t
= 1,53 s
d) Es un error común
pensar que en el punto más alto del movimiento en caída libre la velocidad es
cero y la aceleración es cero. Si fuera así, la pelota quedaría suspendida en
el punto más alto en el aire para siempre.
Recuerde que la
aceleración es la tasa de cambio de la velocidad. Si la aceleración fuera cero
en el punto más alto, la velocidad de la pelota ya no cambiaría y, al estar
instantáneamente en reposo, permanecería en reposo eternamente.
De hecho, en el
punto más alto la aceleración sigue siendo ay = -g = -9.80 m/s2,
la misma que cuando está subiendo y cuando está bajando. Por ello, la velocidad
de la pelota está cambiando continuamente, de valores positivos a valores
negativos, pasando por cero.
Video: Lanzamiento Vertical hacia arriba.
7. Ejercicios / Problemas.
